本文的目的是以高中【课内】知识探究LC振荡电路的周期公式。

首先,LC振荡电路,也称为 谐振电路 、 槽路 或 调谐电路 ,是包含一个 电感 (用字母L表示)和一个 电容 (用字母C表示)连接在一起的 电路,在LC电路中,L代表电感,C代表电容,在日常生产生活中有许多应用。

LC电路是一个理想化的模型,因为它假定有没有因电阻耗散的能量。任何一个LC电路的实际实现中都会包含组件和连接导线的尽管小却非零的电阻导致的损耗。LC电路的目的通常是以最小的阻尼振荡,因此电阻做得尽可能小。在本文情境中我们可以忽略其电阻。

在用通常方法求时,我们往往需要使用高等数学知识微分,然而,本文仅使用高中课内知识推导,不能直接求。

网上通行的答案基本要么通过容抗感抗,要么通过大学数学相关知识求出,这些对普通jk高中生还是为时尚早了

因此,我们需要另辟蹊径。 回想万有引力与库仑力之间的相似,我们是否可以设想,有一个周期公式也和LC电路的周期公式具有相似性?

LC电路:T=2π(LC)½

简谐振动周期公式:T=2π(m/k)½

让我们将它们进行类比:位移→电荷量,电流→速度,单位时间内的电流变化量(原谅我假期睡少了一时忘了怎么叫)→加速度。这已经非常相似了。

那么,我们试着使用探究简谐振动周期的相同方式:(懒得写了,摘自知乎 泷黎

1.首先,对于简谐运动(以弹簧振子举例),我们知道:

(1) [公式]

(这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同,但物理意义表示为回复力与位移的比值)


(2) [公式]

2.我们还知道:

(3) [公式]

3.要求周期,就要找到周期与其简谐运动本身的联系,由 [公式]

我们可知我们所求的 [公式] 隐藏在(2)中。

4.我们需要联立上述公式以期望得出关于关于 [公式] 的公式,

由于(3)牛顿第二定律的 [公式] 可以用(1)带入,而且 [公式] 属于已知条件,

所以我们迫切需要知道 [公式] ,这样我们的问题就解决了。

5.我们来求加速度:

对于(2)我们知道进行一次求导其导函数为

[公式]

其物理意义为简谐运动某质点的瞬时速度。

知道了速度之后我们要知道瞬时加速度,就需要二次求导,得

(4) [公式]

于是我们得到了加速度。

6.将(1)(4)代入(3),我们得

[公式]

与(2)联立我们得 (5)[公式]

7.由 [公式] 代入(5),我们终于得到简谐运动周期公式

[公式]

把对应的物理量进行置换,你会发现——可行!

(因返校时间问题,这里直接代入,仅使用简谐振动思路的推导过程下周补全)

把物理量对应换为简谐振动中的物理量,我们可以得出:ω₂=1/LC

即:ω=1/LC½

代入三角函数周期公式:T=2π/ω

最终得出:T=2π(LC)½

得证。

2022年6月19日更新:

本人的方法:(注:使用二阶导数,高中导数本质是大学高数青春版,因此实质上是高数知识方法的高中限定表达)

在LC振荡电路中:电流是理想电容器电荷量的导数,电流的变化率又是电流的导数,高中课内知识已经告诉我们:电容器电荷量随时间的变化为正弦函数。我们可以将其进行图像化处理:设纵轴为电荷量q,做一个圆。由于电荷量最高=Q(=CU),最低=0,我们设圆的半径为Q/2。为方便计算,设初相位为0,初始方向为电流正方向。

则:q=(1/2)CUsin(ωt)

电流I=(1/2)ωCUcos(ωt)

电流变化率△I/△t=-(1/2)ω₂CUsin(ωt)

自感系数L=E/(△I/△t)=E/[(-1/2)ω₂CUsin(ωt)]

ω₂=E/LCUsin(ωt)

理想情况,此处情境可将电动势E视为电势差U乘sin(ωt)

ω₂=1/LC

即:ω=1/LC½

代入三角函数周期公式:T=2π/ω

最终得出:T=2π(LC)½

证毕。

ps:至于字体颜色太浅的问题,后台显示的是纯黑啊QAQ,我一时间真没找到哪里改,如果有懂的大佬看到这个,麻烦教教qwq


干啥啥不会